Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），已知點(diǎn)（1，e）和（e，

3

2

）都在橢圓C上，其中e為橢圓C的離心率．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，若在橢圓C上存在點(diǎn)R，使四邊形OPRQ為平行四邊形，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

1 a2 + c2 a2b2 =1 c2 a4 + 3 4b2 =1 c2=a2-b2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x_R，y_R），由已知條件推導(dǎo)出x₁+x₂=x_R，y₁+y₂=y_R，由點(diǎn)R在橢圓上，得到（1+2k²）（x₁+x₂）²+8km（x₁+x₂）+8m²=2，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理能求出m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)（1，e）和（e，

3

2

）都在橢圓C上，其中e為橢圓C的離心率，
∴

1

a2

+

e2

b2

=1，

e2

a2

+

3

4b2

=1，e=

c

a

，
∴

1 a2 + c2 a2b2 =1 c2 a4 + 3 4b2 =1 c2=a2-b2

，解得a²=2，b²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x_R，y_R），
∵四邊形OPRG為平行四邊形，
∴線段PQ的中點(diǎn)即為線段OR的中點(diǎn)，
即x₁+x₂=x_R，y₁+y₂=y_R，
∵點(diǎn)R在橢圓上，
∴

(x1+x2)2

2

+(y1+y2)=1，
∴

(x1+x2)2

2

+[k(x1+x2)+2m]2=1，
化簡，得（1+2k²）（x₁+x₂）²+8km（x₁+x₂）+8m²=2，①
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△＞0，得2k²+1＞m²，②
又x1+x2=-

4km

1+2k2

，
代入①式，得

16(1+2k2)k2m2

(1+2k2)2

-

32k2m2

1+2k2

+8m2=2，
化簡，得4m²=1+2k²，
代入②式，得m≠0，
又∵4m²=1+2k²≥1，
∴m≤-

1

2

，或m≥

1

2

．
∴m的取值范圍為（-∞，-

1

2

]∪[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用．