Question

記向量

OA

=

a

，

OB

=

b

，其中O為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，且

a

=（3，1），

b

=（1，3），向量

OC

=λ

a

+μ

b

，且0≤λ≤μ≤1，則點(diǎn)C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由

a

=（3，1），

b

=（1，3），向量

OC

=λ

a

+μ

b

，知 

OC

=（3λ，λ）+（μ，3μ）=（3λ+μ，λ+3μ），由0≤λ≤μ≤1，然后推出約束條件，由此能求解三角形的面積．

解答： 解：設(shè)

OC

=（x，y）=（3λ+μ，λ+3μ）
∴

x=3λ+μ y=λ+3μ

∴

3y-x=8μ 3x-y=8λ

由已知0≤8λ≤8μ≤8，得0≤3x-y≤3y-x≤8，
得

3x-y≥0 y≥x 3y-x≤8

 區(qū)域如圖陰影部分，
得三角形頂點(diǎn)B（1，3），C（4，4），|OC|=4

2

，
點(diǎn)B到直線x-y=0距離d=

2

2

=

2

，
故S=

1

2

×4

2

×

2

=4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的綜合題，線性規(guī)劃的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．