Question

20．已知f（x）=2x-x²，g（x）=f（3-x²），則函數g（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，$-\sqrt{2}$）和（0，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 利用代入法，求出函數g（x）的解析式，進而利用導數法可得函數g（x）的單調遞增區(qū)間．

解答 解：∵f（x）=2x-x²，
∴g（x）=f（3-x²）=2（3-x²）-（3-x²）²=-x⁴+4x²-3，
∴g′（x）=-4x³+8x=-4x（x+$\sqrt{2}$）（x-$\sqrt{2}$），
令g′（x）＞0，則x∈（-∞，$-\sqrt{2}$）∪（0，$\sqrt{2}$），
故函數g（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，$-\sqrt{2}$）和（0，$\sqrt{2}$），
故答案為：（-∞，$-\sqrt{2}$）和（0，$\sqrt{2}$）

點評 本題考查的知識點是函數的單調區(qū)間，導數法研究函數的單調性，代入法求函數的解析式，難度中檔．