Question

5．求值域：
（1）y=$\frac{{x}^{2}-x+3}{{x}^{2}-x+1}$；
（2）y=$\frac{{x}^{2}-4x-5}{{x}^{2}-3x-4}$；
（3）y=2x-$\sqrt{x-1}$；
（4）y=2x+$\sqrt{9-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）該函數(shù)可以變成$y=1+\frac{2}{{x}^{2}-x+1}$，從而可配方求x²-x+1的范圍，從而得出$\frac{1}{{x}^{2}-x+1}$的范圍，即得出該函數(shù)的值域；
（2）該函數(shù)可以變成$y=\frac{（x-5）（x+1）}{（x-4）（x+1）}=1-\frac{1}{x-4}$，從而可以看出x≠-1，從而可得到$y≠\frac{6}{5}$，并且可以看出y≠1，這樣便得出了該函數(shù)的值域；
（3）原函數(shù)帶根號(hào)，從而可考慮換元去根號(hào)：令$\sqrt{x-1}=t，t≥0$，可以解出x，這樣可得到y(tǒng)=2t²-t+2，這樣變成求二次函數(shù)的值域，配方即可求出該二次函數(shù)在t≥0上的值域；
（4）函數(shù)解析式中帶根號(hào)，可考慮平方去根號(hào)：（y-2x）²=9-x²，然后可以整理成關(guān)于x的一元二次方程的形式，方程有解，從而△≥0，這樣即可求出y的范圍，即得出原函數(shù)的值域．

解答 解：（1）$y=\frac{{x}^{2}-x+3}{{x}^{2}-x+1}=1+\frac{2}{{x}^{2}-x+1}$；
${x}^{2}-x+1=（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}$；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}-x+1}≤\frac{4}{3}$；
$1＜y≤\frac{11}{3}$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋?，$\frac{11}{3}$]；
（2）由原函數(shù)得，$y=\frac{（x-5）（x+1）}{（x-4）（x+1）}=\frac{x-5}{x-4}=\frac{x-4-1}{x-4}=1-\frac{1}{x-4}$；
∵x≠-1；
∴$y≠\frac{6}{5}$；
且$\frac{1}{x-4}≠0$；
∴y≠1；
∴原函數(shù)的值域?yàn)椋簕y|y$≠\frac{6}{5}$，且y≠1}；
（3）令$\sqrt{x-1}=t$，t≥0，則x=t²+1；
∴y=2（t²+1）-t=2t²-t+2=$2（t-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{15}{8}$；
∵t≥0；
∴$y≥\frac{15}{8}$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋篬$\frac{15}{8}，+∞$）；
（4）由原函數(shù)得，（y-2x）²=9-x²；
整理成，5x²-4yx+y²-9=0，看成關(guān)于x的一元二次方程，方程有解；
∴△=180-4y²≥0；
解得$-3\sqrt{5}≤y≤3\sqrt{5}$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)椋?[-3\sqrt{5}，3\sqrt{5}]$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)值域的概念，分離常數(shù)求函數(shù)值域的方法，配方求二次函數(shù)值域的方法，通過分解因式，將分子分母含二次的式子變成一次的方法，換元去根號(hào)或兩邊平方去根號(hào)的方法求含根號(hào)的函數(shù)的值域的方法，以及一元二次方程有解時(shí)，判別式△的取值情況．