Question

己知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長為2的正三角形，側面A₁ACC₁為菱形，∠A₁AC=60°，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，N是CC₁的中點．
（I）求證：A₁C⊥BN；
（Ⅱ）求二面角B-A₁N-C的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，證明

A1C

•

BN

=0+

3

2

+(-

3

)•

3

2

=0，可得A₁C⊥BN；
（Ⅱ）求出平面A₁BN的法向量、平面A₁NC的法向量，利用向量的夾角公式求二面角B-A₁N-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取AC的中點O，連結BO，A₁O，由題意知 BO⊥AC，A₁O⊥AC．
又因為 平面A₁ACC₁⊥平面ABC，所以 A₁O⊥平面ABC
以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 O-xyz．…（2分）
則O（0，0，0），B(

3

，0，0)，A1(0，0，

3

)，N(0，

3

2

，

3

2

)，C（0，1，0），

A1C

=(0，1，-

3

).

BN

=(-

3

，

3

2

，

3

2

)…（4分）
因為 

A1C

•

BN

=0+

3

2

+(-

3

)•

3

2

=0，所以A₁C⊥BN…（6分）
（Ⅱ）解：取AC的中點O，連結BO，A₁O，由題意知 BO⊥AC，A₁O⊥AC．
又因為 平面A₁ACC₁⊥平面ABC，所以 A₁O⊥平面ABC
以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 O-xyz．…（7分）
則O（0，0，0），B(

3

，0，0)，A1(0，0，

3

)，N(0，

3

2

，

3

2

)，

A1N

=(0，

3

2

，-

3

2

)，

A1B

=(

3

，0，-

3

)．
設平面A₁BN的法向量為n₁=（x，y，z），則

A1N •n1=0 A1B •n1=0.

即

3 2 y- 3 2 z=0 3 x- 3 z=0.

令x=1．所以n1=(1，

3

3

，1)．…（9分）
又平面A₁NC的法向量n₂=（1，0，0）…（10分）
設二面角B-A₁N-C的平面角為θ，則cosθ=

n1•n2

|n1|•|n2|

=

21

7

．…（12分）

點評：本題考查線線垂直，考查面面角，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．