Question

在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=3，其前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，b₁=1，公比為q，且b₂+S₂=12，
（1）求a_n與b_n；
（2）設(shè)數(shù)列{c_n}滿(mǎn)足c_n=

1

Sn

，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)b₂+S₂=12，{b_n}的公比q=

s2

b2

，建立方程組，即可求出a_n與b_n；
（2）對(duì)通項(xiàng)化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)法求和，即可得到數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（1）由已知得b₂=b₁q=q，所以有

q+3+a2=12 q= 3+a2 q

，
解方程組得，q=3或q=-4（舍去），a₂=6
∴a_n=3+3（n-1）=3n，bn=3n-1 
（2）∵s_n=

n(3+3n)

2

，
∴c_n=

1

Sn

=

2

n(3+3n)

=

2

3

（

1

n

-

1

n+1

）
∴T_n=

2

3

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

2

3

（1-

1

n+1

）=

2n

3(n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法求數(shù)列的通項(xiàng)，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，屬于中檔題．