Question

已知直線AB過拋物線y²=4x的焦點F，交拋物線于A、B兩點，點A在x軸的上方，且弦AB的中點為C（2，m），求弦AB的長和m的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由拋物線y²=4x，可得焦點F（1，0）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x₂．可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），解得m=

2

．可得直線l的方程為y=

2

（x-1）．與拋物線方程聯(lián)立可得x₁+x₂，利用焦點弦長公式即可得出．

解答： 解：由拋物線y²=4x，可得焦點F（1，0）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則kAB=

m-0

2-1

=

y2-y1

x2-x1

，即

y2-y1

x2-x1

=m＞0，
y₁+y₂=2m．
由

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x₂．
可得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴2m•m=4，解得m=

2

．
∴直線l的方程為y=

2

（x-1）．
聯(lián)立

y= 2 (x-1) y2=4x

，化為x²-4x+1=0，
∴x₁+x₂=4．
∴|AB|=x₁+x₂+p=4+2=6．

點評：本題考查了直線與拋物線相交弦長問題、中點坐標公式、斜率計算公式，考查了焦點弦長公式、“點差法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．