Question

15．設(shè)P為△ABC所在平面內(nèi)一點，且$5\overrightarrow{AP}$-2$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，則△PAB的面積與△ABC的面積之比等于（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{1}{5}$
• D． 不確定

Answer 1

分析 根據(jù)題意，作出平行四邊形ACED，B為AD中點，G、F滿足$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$．根據(jù)向量的加法法則，得到$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$且$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AF}$，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形面積公式，分別得到△PAB的面積等于平行四邊形ACED的$\frac{1}{20}$，且△ABC的面積等于平行四邊形ACED的$\frac{1}{4}$，由此即可得到它們的面積之比．

解答 解：∵$5\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$
∴移項化簡，可得$\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$
因此，設(shè)向量$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}$，
可得$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{AF}$
點P在以AG、AF為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點處，如圖所示
平行四邊形ACED中，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}$
B為AD中點，得$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}$，
∴△PAB的面積S₁=$\frac{1}{10}$S_△ADE=$\frac{1}{20}$S_{平行四邊形ACED}
又∵△ABC的面積S₂=$\frac{1}{4}$S_{平行四邊形ACED}
∴S₁：S₂=$\frac{1}{20}$：$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$，即△PAB的面積與△ABC的面積的比值為$\frac{1}{5}$
故選：C

點評 本題給出三角形中的向量關(guān)系式，求兩個三角形的面積之比．著重考查了向量的加法法則、平行四邊形的性質(zhì)和三角形面積公式等知識，屬于中檔題．