Question

18．如圖，圓錐的底面圓心為O，直徑為AB，C為半圓弧AB的中點(diǎn)，E為劣弧CB的中點(diǎn)，且AB=2PO=2$\sqrt{2}$．
（1）求證PO⊥AC；
（2）求二面角P-AC-E的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）說明PO⊥底面圓O，利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理推出結(jié)果即可．
（2）取AC中點(diǎn)為D，連接PD、OD，說明二面角P-AC-E的平面角即為∠PDO，在Rt△POD中，求解即可．

解答 證明：（1）∵PO是圓錐的高，∴PO⊥底面圓O，
又AC?底面圓O，
∴PO⊥AC．
（2）取AC中點(diǎn)為D，連接PD、OD，又圓錐母線PA=PC，∴PD⊥AC
∵底面圓O上OA=OC∴OD⊥AC
又E為劣弧CB的中點(diǎn)即有E∈底面圓O
∴二面角P-AC-E的平面角即為∠PDO
∵C為半圓弧AB的中點(diǎn)，∴∠AOC=90°
又直徑AB=2$\sqrt{2}$∴OD=$\frac{1}{2}$AC=1
∵PO⊥底面圓O  且OD?底面圓O，∴PO⊥OD
又PO=$\sqrt{2}$，∴Rt△POD中，PD=$\sqrt{3}$．
∴cos∠PDO=$\frac{OD}{PD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$即為所求．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查轉(zhuǎn)化三險(xiǎn)一金空間想象能力的應(yīng)用．