Question

9．如圖在三棱錐A-BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=$\sqrt{3}$，BD=CD=1，另一個側面是正三角形
（1）求證：AD⊥BC；
（2）求二面角B-AC-D的余弦值；
（3）點E在直線AC上，當直線ED與平面BCD成30°角若時，求點C到平面BDE的距離．

Answer 1

分析 （1）取BC中點O，連結AO、DO，則AO⊥BC，DO⊥BC，由此能證明BC⊥AD．
（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC，交AD于N，則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，由此利用余弦定理能求出二面角B-AC-D的余弦值．
（3）過A作AH⊥平面BCD，交DO延長線于H，連結CH，設E是所求的點，過E作EF⊥CH于F，連結FD，∠EDF就是直線ED與平面BCD所成角，由V_E-BCD=V_C-BED，能求出點C到平面BDE的距離．

解答 證明：（1）取BC中點O，連結AO、DO，
∵在三棱錐A-BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，
且AD=$\sqrt{3}$，BD=CD=1，另一個側面是正三角形，
∴AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD，
∴BC⊥AD．
解：（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC，交AD于N，
則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角，
∵AB=AC=BC=$\sqrt{2}$，M是AC中點，
∴BM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，MN=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}$，BN=$\frac{1}{2}AD=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由余弦定理得cos∠BMN=$\frac{\frac{3}{2}+\frac{1}{4}-\frac{3}{4}}{2×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴二面角B-AC-D的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（3）過A作AH⊥平面BCD，交DO延長線于H，連結CH，
設E是所求的點，過E作EF⊥CH于F，連結FD，
則EF∥AH，
∴EF⊥面BCD，∠EDF就是直線ED與平面BCD所成角，∴∠EDF=30°，
設EF=x，由題意AH=CH=1，CF=x，FD=$\sqrt{1+{x}^{2}}$，
∴tan∠EDF=$\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則CE=1，設點C到平面BDE的距離為d，
∵V_E-BCD=V_C-BED，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{6}}{2}×d$，
解得d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴點C到平面BDE的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理、等體積法的合理運用．