Question

已知向量

m

=(cos

ωx

2

，sinωx-

3

3

)， 

n

=(2cos

ωx

2

，

3

)，且x∈R，ω＞0，若函數f（x）=

m

•

n

在一個周期內的圖象的最高點A、最低點B和一個零點C構成一個直角三角形的三個頂點．（如圖所示）
（1）求ω的值及函數f（x）的值域；
（2）若0＜ω＜1，當f（x₀）=-

4 2

3

x0∈[-

14

3

，-

8

3

]，求f（x₀+1）的值．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,正弦函數的圖象,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）利用向量的數量積運算和三角函數的二倍角公式，化簡得到f（x），再有函數的圖象，求出ω的值和函數的值域
（2）由（1）得到函數的解析式，再利用兩角和的正余弦公式求出f（x₀+1）的值．

解答： 解：（1）f(x)=

m

•

n

=2cos2

ωx

2

+

3

sinωx-1=

3

sinωx+cosωx=2sin(ωx+

π

6

)

由對稱性可知AB必過f（x）的零點D，
如果角A為直角，則△ACD為等腰直角三角形，高為2
故CD=4，即函數f（x）的周期T=2×4=8，所以

2π

ω

=8⇒ω=

π

4

如果角C為直角，CD=

1

2

AB，即

T

2

=

1

2

( T 2 )2+42

⇒T=

8

3

3

，ω=

3 π

4

綜上，ω的值為

π

4

或

3 π

4

，函數f（x）的值域為[-2，2]．…（6分）
（2）因為0＜ω＜1，所以ω=

π

4

，即f(x)=2sin(

π

4

x+

π

6

)
∵f(x0)=-

4 2

3

 ∴2sin(

π

4

x0+

π

6

)=-

4 2

3

，
即sin(

π

4

x0+

π

6

)=-

2 2

3

…（8分）
由x0∈[-

14

3

，-

8

3

]，
可得

π

4

x0+

π

6

∈[-π，-

π

2

]，
所以cos(

π

4

x0+

π

6

)=-

1

3

…（10分）
f（x₀+1）=2sin[（

π

4

x₀+

π

6

）+

π

4

]
=2sin[（

π

4

x₀+

π

6

）cos

π

4

+cos[（

π

4

x₀+

π

6

）sin

π

4

]
=2(-

2 2

3

×

2

2

-

1

3

×

2

2

)=-

4+ 2

3

…（12分）

點評：本題主要考察三角函數的圖象與性質、同角三角函數的關系、兩角和的正余弦公式、兩倍角公式等基礎知識，考查運算能力，數形結合、整體轉化等數學思想，三角函數以向量為載體的形式給出，在三角函數圖象中巧妙嵌入直角三角形，活而不難、平中見奇．