Question

【題目】．

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)定義域研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)：當(dāng)時，僅有一個零點(diǎn)；當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)；列表分析導(dǎo)函數(shù)符號變號規(guī)律得單調(diào)區(qū)間（2）根據(jù)（1）得，將不等式轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)可得

試題解析：（1），，

則，

當(dāng)時，在上單調(diào)增，上單調(diào)減，

當(dāng)時，令，解得，，

當(dāng)，解得，

∴，的解集為，；的解集為，

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，，

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

當(dāng)，解得，

∴，的解集為；的解集為，

綜上可知：，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．

（2）證明：∵，故由（1）可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

∴在時取極大值，并且也是最大值，即 ，

又∵，

∴，

設(shè)，，

∴的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，

∴，

∵，∴，∴，，

∴．