Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線(xiàn)．設(shè)圓的半徑為1，圓心在上．

（1）若圓心也在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的方程；

（2）若圓上存在點(diǎn)，使，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先聯(lián)立兩直線(xiàn)方程求得圓心坐標(biāo)，然后設(shè)出切線(xiàn)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求得切線(xiàn)斜率，從而求得切線(xiàn)的方程；（2）首先根據(jù)題條件設(shè)出圓的方程與點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)得到的軌跡方程，從而得出點(diǎn)應(yīng)該既在圓上又在圓上，且圓和圓有交點(diǎn)，進(jìn)而確定不等關(guān)系式，求得的取值范圍．

試題解析：（1）由題設(shè)，圓心是直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，

由，解得，于是切線(xiàn)的斜率必存在．

設(shè)過(guò)的圓的切線(xiàn)方程為，即，

由題意，，解得或，或．

故所求切線(xiàn)方程為，或，即，或．

（2）∵圓的圓心在直線(xiàn)上，

∴圓的方程為，

設(shè)點(diǎn)，由，得，

化簡(jiǎn)，得，即，

∴點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上．

由題意，點(diǎn)在圓上，

∴圓和圓有公共點(diǎn)，則，

∴，即．

由，得；

由，得．

故圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍為．