Question

由某種設(shè)備的使用年限x_i（年）與所支出的維修費y_i（萬元）的數(shù)據(jù)資料算得如下結(jié)果，

5

i=1

x_i²=90，

5

i=1

x_iy_i=112，

5

i=1

x_i=20，

5

i=1

y_i=25．
（1）求所支出的維修費y對使用年限x的線性回歸方程

y

=

b

x+

a

；
（2）①判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
②當(dāng)使用年限為8年時，試估計支出的維修費是多少．
（附：在線性回歸方程

y

=

b

x+

a

中，

b

=

n i=1 xiyi-n . xy

n i=1 x 2 i -n . x 2

，

a

=

.

y

-

b

.

x

，其中

.

x

，

.

y

為樣本平均值．）

Answer 1

考點：線性回歸方程

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用已知條件求出樣本中心坐標(biāo)，以及

b

=

n i=1 xiyi-n . xy

n i=1 x 2 i -n . x 2

，代入回歸直線方程，求出

a

，即可求所支出的維修費y對使用年限x的線性回歸方程

y

=

b

x+

a

；
（2）①直接利用回歸直線方程的斜率，判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；
②當(dāng)使用年限為8年時，代入回歸直線方程，即可估計支出的維修費的值．

解答： 解：（1）∵

5

i=1

xi=20，

5

i=1

yi=25，∴

.

x

=

1

5

5

i=1

xi=4，

.

y

=

1

5

5

i=1

yi=5
∴

?

b

=

5 i=1 xiyi-5 . x . y

5 i=1 xi2-5 . x 2

=

112-5×4×5

90-5×42

=1.2…（3分）

?

a

=

.

y

-

?

b

.

x

=5-1.2×4=0.2…（5分）
∴線性回歸方程

?

y

=1.2x+0.2．                    …（6分）
（2）①由（1）知

?

b

=1.2＞0，∴變量x與y之間是正相關(guān)．            …（9分）
②由（1）知，當(dāng)x=8時，

?

y

=9.8（萬元），即使用年限為8年時，支出的維修費約是9.8萬元．
…（12分）

點評：本題考查線性回歸方程的求法，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的條件求出直線的樣本中心點，線性回歸方程一定過樣本中心點是本題解題的依據(jù)，本題是一個基礎(chǔ)題．