Question

已知函數(shù)f（x）=是奇函數(shù)．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（3）對任意的實數(shù)x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）由f（x）=是奇函數(shù)，有f（-x）=-f（x），
∴），
∴2a=-，
∴a=-．
（2）f（x）在R上是增函數(shù)．
f（x）=
設(shè)x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=-
=，
∵x₁＜x₂，∴＞，
∴＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在R上是增函數(shù)．
（3）對任意的實數(shù)x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，
則只要2m-1＜f（x）_min，
∵2^x+1＞1∴0＜＜1，
∴-1＜-＜0，
-＜-＜，即-＜f（x）＜，
∴2m-1≤-，
∴m≤．即m的取值范圍為：（-∞，]．
分析：（1）由奇函數(shù)定義知，有f（-x）=-f（x）恒成立，由此可求a值；
（2）設(shè)x₁、x₂∈R且x₁＜x₂，通過作差判斷f（x₂）與f（x₁）的大小，利用函數(shù)單調(diào)性的定義可作出判斷；
（3）對任意的實數(shù)x，不等式f（x）＞2m-1恒成立，等價于2m-1＜f（x）_min，根據(jù)基本函數(shù)的值域可求出f（x）_min．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及不等式恒成立問題，對于函數(shù)奇偶性、單調(diào)性常用定義解決，而恒成立則往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．