Question

11．己知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），內(nèi)接于橢圓的正方形面積為S₁，內(nèi)接于橢圓且有最大面積的矩形的面積為S₂，則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}$．

Answer 1

分析 設(shè)內(nèi)接于橢圓的正方形ABCD的A的坐標(biāo)為（m，n）（m，n＞0），代入橢圓方程，可得m，可得S₁，再由橢圓的參數(shù)方程，可得內(nèi)接矩形的面積，由正弦函數(shù)的最值可得最大值S₂，進(jìn)而得到所求比值．

解答 解：設(shè)內(nèi)接于橢圓的正方形ABCD的A的坐標(biāo)為（m，n）（m，n＞0），
即有m=n，且$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{n}^{2}}{^{2}}$=1，可得m²=$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
則有S₁=4m²=$\frac{4{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
內(nèi)接于橢圓的矩形EFGH的E的坐標(biāo)為（s，t），（s，t＞0），
即有內(nèi)接矩形的面積為4st，
由橢圓的參數(shù)方程可得s=acosθ，t=bsinθ，
可得4st=4absinθcosθ=2absin2θ，
當(dāng)sin2θ=1時(shí)，可得S₂=2ab，
則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{4{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}{2ab}$=$\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}$．
故答案為：$\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，考查橢圓的參數(shù)方程及三角函數(shù)的最值的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．