Question

已知雙曲線的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為動(dòng)點(diǎn)，若PF₁+PF₂=4．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E方程；
（Ⅱ）若A₁（-2，0），A₂（2，0），M（1，0），設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)M，且與軌跡E交于R、Q兩點(diǎn)，直線A₁R與A₂Q交于點(diǎn)S．試問(wèn)：當(dāng)直線l在變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條定直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)雙曲線的方程為：-y²=1，則|FF₂|=2 ，|PF₁|+|PF₂|=4＞|FF₂|，由此知點(diǎn)P的軌跡E是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，并能求出其方程．
（II）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，假設(shè)存在滿足條件的直線l在變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條定直線上，設(shè)直線a的方程為x=my+1，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用條件即可求得直線的方程，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）由題意知：，
又∵PF₁+PF₂=4，
∴動(dòng)點(diǎn)P（x，y）必在以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，∴a=2，
又∵，b²=a²-c²=1．
∴橢圓C的方程為．
（Ⅱ）由題意，可設(shè)直線l為：x=my+1．
取m=0，得，直線A₁R的方程是，5
直線A₂Q的方程是，交點(diǎn)為．
若，由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為．
若點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為?：x=4．
以下證明對(duì)于任意的m，直線A₁R與直線A₂Q的交點(diǎn)S均在直線?：x=4上．
事實(shí)上，由，得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
記R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則．
設(shè)A₁R與?交于點(diǎn)S（4，y），由，得．
設(shè)A₂Q與?交于點(diǎn)S^′（4，y^′），由，得．
∵
=
=
=，
∴y=y^′，即S與S^′重合，
這說(shuō)明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線?：x=4上．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．