Question

在正項(xiàng)等差數(shù)列{a_n}中，a₁=2，b_n=a_n+n-1，且b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=

1

anbn

，設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為Tn，求f（n）=T_n+

an

bn

（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d，可表示a_n，b_n，由b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列，有b1b9=b32，得關(guān)于d的方程，再由a_n＞0，可得d=1，從而可得結(jié)果；
（2）利用裂項(xiàng)相消法可求得T_n=

n

2(n+1)

，則f（n）=

n

2(n+1)

+

n+1

2n

=

1

2

(

n

n+1

+

n+1

n

)，令t=

n

n+1

=1-

1

n+1

，易求t范圍，由關(guān)于t的單調(diào)性可得最大值；

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，則a_n=2+（n-1）d，b_n=a_n+n-1=n+1+（n-1）d，
由b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列，有b1b9=b32，即2（8d+10）=（2d+4）²，得d²=1，
又a_n＞0，故d=1，即a_n=n+1，b_n=2n；
（2）c_n=

1

anbn

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
故Tn=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

n

2(n+1)

，
于是f（n）=

n

2(n+1)

+

n+1

2n

=

1

2

(

n

n+1

+

n+1

n

)，
令t=

n

n+1

=1-

1

n+1

，則t是關(guān)于n的增函數(shù)，當(dāng)n=1是，t=

1

2

，
故t∈[

1

2

，1)，而g（t）=

1

2

(t+

1

t

)在t∈[

1

2

，1)上是減函數(shù)，
∴t=

1

2

，即n=1時(shí)，f（n）的最大值為

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和，考查函數(shù)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，裂項(xiàng)相消法對(duì)數(shù)列求和是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，要使熟練．