Question

【題目】某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生的視力情況進行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如下直方圖:

年級名次/是否近視	1-50	951-1000
近視	41	32
不近視	9	18

（1）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)；

（2）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進行了調(diào)查，得到如上述表格中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系;

（3）在（2）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進一步調(diào)查他們良好的護眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50名的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：

	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列見解析，．

【解析】

試題（Ⅰ）先利用可得第一、二組的頻率，由已知條件可得第三、六組的頻率，進而可得視力在5.0以下的頻率，再利用可得全年級視力在5.0以下的人數(shù)；（Ⅱ）先算出的值，再與表中的數(shù)據(jù)比較即可得在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系；（Ⅲ）先分析確定隨機變量的所有可能取值，再計算各個取值的概率即可得的分布列，進而利用數(shù)學(xué)期望公式即可得數(shù)學(xué)期望．

試題解析：（Ⅰ）設(shè)各組的頻率為，

依題意，前三組的頻率成等比數(shù)列，后四組的頻率成等差數(shù)列，故

，，1分

所以由得， 2分

所以視力在5.0以下的頻率為1-0.17=0.83， 3分

故全年級視力在5.0以下的人數(shù)約為4分

（Ⅱ）6分

因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系. 7分

（Ⅲ）依題意9人中年級名次在1~50名和951~1000名分別有3人和6人， 8分

可取0,1,2,3

，

，

，

X的分布列為

X	0	1	2	3
P

X的數(shù)學(xué)期望12分