【題目】已知橢圓，為橢圓的左、右焦點，點在直線上且不在軸上，直線與橢圓的交點分別為和，為坐標(biāo)原點.

設(shè)直線的斜率為，證明：

問直線上是否存在點，使得直線的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，表示出斜率，化簡可得結(jié)論；

（2）設(shè)出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出斜率，利用kOA+kOB+kOC+kOD＝0，即可得到結(jié)論．

因為橢圓方程為，所以F1（﹣1，0）、F2（1，0）

設(shè)P（x0，2﹣x0），則，，

所以

（2）記A、B、C、D坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）、（x1，y1）．

設(shè)直線PF1：x＝m1y﹣1，PF2：x＝m2y+1

聯(lián)立可得

，

代入，可得

同理，聯(lián)立PF2和橢圓方程，可得

由及m1﹣3m2＝2（由（1）得）可解得，或，

所以直線方程為或，

所以點P的坐標(biāo)為（0，2）或

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，證明不等式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的幾何體中，垂直于梯形所在的平面，為的中點，，四邊形為矩形，線段交于點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

年份代號t

1

2

3

4

5

6

7

人均純收入y

2.9

3.3

3.6

4.4

4.8

5.2

5.9

（1）求y關(guān)于t的線性回歸方程；

（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：

，

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓的兩個焦點，，設(shè)，分別是橢圓的上、下頂點，且四邊形的面積為，其內(nèi)切圓周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)時，，為橢圓上的動點，且，試問：直線是否恒過一定點？若是，求出此定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c, 且, 若.

（1）求角B的大小；

（2）若, 且△ABC的面積為, 求sinA的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】橢圓的兩個焦點，，設(shè)，分別是橢圓的上、下頂點，且四邊形的面積為，其內(nèi)切圓周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）當(dāng)時，，為橢圓上的動點，且，試問：直線是否恒過一定點？若是，求出此定點坐標(biāo)，若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生的視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如下直方圖:

年級名次/是否近視

1-50

951-1000

近視

41

32

不近視

9

18

（1）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)；

（2）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如上述表格中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系;

（3）在（2）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50名的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

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