已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn),且離心率,點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),的內(nèi)切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 若是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn),滿足向量與共線,與共
線,且,求的取值范圍.
(1);(2)
解析試題分析:本小題主要通過對(duì)直線與圓錐曲線中橢圓的綜合應(yīng)用的考查,具體涉及到橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí)與圓錐曲線的綜合知識(shí),提示考生對(duì)圓錐曲線的綜合題加以重視,本題主要考查考生的推理論證能力,運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.(1)利用方程思想和幾何性質(zhì),得到含有的兩個(gè)等量關(guān)系,進(jìn)而利用待定系數(shù)法求解橢圓方程;(2)通過直線與方程聯(lián)立,借助韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式將進(jìn)行表示為含有的函數(shù)關(guān)系式,利用換元法和二次函數(shù)求值域的思路尋求范圍.
試題解析:(1)由幾何性質(zhì)可知:當(dāng)內(nèi)切圓面積取最大值時(shí),
即取最大值,且.
由得
又為定值,,
綜上得;
又由,可得,即,
經(jīng)計(jì)算得,,,
故橢圓方程為. (5分)
(2) ①當(dāng)直線與中有一條直線垂直于軸時(shí),.
②當(dāng)直線斜率存在但不為0時(shí),設(shè)的方程為:,由消去
可得,代入弦長(zhǎng)公式得: ,
同理由消去可得,
代入弦長(zhǎng)公式得:,
所以
令,則,所以,
由①②可知,的取值范圍是. (12分)
考點(diǎn):(1)橢圓方程;(2)直線與橢圓的位置關(guān)系;(3)函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知橢圓:的離心率為,以橢圓的左頂點(diǎn)為圓心作圓:,設(shè)圓與橢圓交于點(diǎn)與點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)求的最小值,并求此時(shí)圓的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)是橢圓上異于,的任意一點(diǎn),且直線分別與軸交于點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),
求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,為其右焦點(diǎn),離心率為.
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點(diǎn),問是否存在直線,使與橢圓交于兩點(diǎn),且.若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)恰好是一邊長(zhǎng)為2,一內(nèi)角為的菱形的四個(gè)頂點(diǎn).
(I)求橢圓的方程;
(II)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn),求(為原點(diǎn))面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點(diǎn)為 ,為橢圓的上頂點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且兩焦點(diǎn)和短軸的兩端構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在直線交與橢圓于, ,且使,使得為的垂心,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn),則稱P為“C1—C2型點(diǎn)”.
(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn),求證,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)”;
(3)求證:圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)”.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率為,且過點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若過點(diǎn)C(-1,0)且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),試問在軸上是否存在點(diǎn),使是與無關(guān)的常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線C:與橢圓共焦點(diǎn),
(Ⅰ)求的值和拋物線C的準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)若P為拋物線C上位于軸下方的一點(diǎn),直線是拋物線C在點(diǎn)P處的切線,問是否存在平行于的直線與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且使?若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在等腰直角中,,,點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ) 若,求的長(zhǎng);
(Ⅱ)若點(diǎn)在線段上,且,問:當(dāng)取何值時(shí),的面積最?并求出面積的最小值.
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