已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若過(guò)點(diǎn)C(-1,0)且斜率為的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),試問(wèn)在軸上是否存在點(diǎn),使是與無(wú)關(guān)的常數(shù)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)橢圓方程為。
(2)在x軸上存在點(diǎn)M(), 使是與K無(wú)關(guān)的常數(shù).

解析試題分析:(1)∵橢圓離心率為,
,∴.        1分
橢圓過(guò)點(diǎn)(,1),代入橢圓方程,得.        2分
所以.                         4分
∴橢圓方程為,即.           5分
(2)在x軸上存在點(diǎn)M,使是與K無(wú)關(guān)的常數(shù).   6分
證明:假設(shè)在x軸上存在點(diǎn)M(m,0),使是與k無(wú)關(guān)的常數(shù),
∵直線L過(guò)點(diǎn)C(-1,0)且斜率為K,∴L方程為,
 得.      7分
設(shè),則      8分

              9分
=
=
=
=                 10分
設(shè)常數(shù)為t,則.                11分
整理得對(duì)任意的k恒成立,
解得,                    12分
即在x軸上存在點(diǎn)M(), 使是與K無(wú)關(guān)的常數(shù).       13分
考點(diǎn):橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,平面向量的數(shù)量積。
點(diǎn)評(píng):中檔題,曲線關(guān)系問(wèn)題,往往通過(guò)聯(lián)立方程組,得到一元二次方程,運(yùn)用韋達(dá)定理。求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì),建立了a,bac的方程組。(2)作為研究,應(yīng)用韋達(dá)定理,建立了m的函數(shù)式,利用函數(shù)觀點(diǎn),求得m的值,肯定存在性,使問(wèn)題得解。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知圓C:的半徑等于橢圓E:(a>b>0)的短半軸長(zhǎng),橢圓E的右焦點(diǎn)F在圓C內(nèi),且到直線l:y=x-的距離為,點(diǎn)M是直線l與圓C的公共點(diǎn),設(shè)直線l交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).

(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)求證:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的離心率為,直線:與以原點(diǎn)為圓心、以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,右焦點(diǎn),直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸,動(dòng)直線垂直于點(diǎn),
線段垂直平分線交于點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅲ)設(shè)軸交于點(diǎn),不同的兩點(diǎn)上,且滿足,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn),且離心率,點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),的內(nèi)切圓面積的最大值為.
(1) 求橢圓的方程;
(2) 若是橢圓上不重合的四個(gè)點(diǎn),滿足向量共線,
線,且,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知定圓的圓心為,動(dòng)圓過(guò)點(diǎn),且和圓相切,動(dòng)圓的圓心的軌跡記為
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)為曲線上一點(diǎn),試探究直線:與曲線是否存在交點(diǎn)? 若存在,求出交點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

(13分)已知橢圓C:(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(﹣1,0),F(xiàn)2(1,0),且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)
(I)求橢圓C的離心率:
(II)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn),且,求點(diǎn)Q的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

若橢圓C:的離心率e為, 且橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=-12x的焦點(diǎn)重合.
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 設(shè)點(diǎn)M(2,0), 點(diǎn)Q是橢圓上一點(diǎn), 當(dāng)|MQ|最小時(shí), 試求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3) 設(shè)P(m,0)為橢圓C長(zhǎng)軸(含端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 過(guò)P點(diǎn)斜率為k的直線l交橢圓與
A,B兩點(diǎn), 若|PA|2+|PB|2的值僅依賴于k而與m無(wú)關(guān), 求k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,一個(gè)頂點(diǎn)為,且其右焦點(diǎn)到直線的距離為3.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)直線過(guò)定點(diǎn),與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn),且滿足
求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓:的焦距為,離心率為,其右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于另一點(diǎn).
(Ⅰ)若,求外接圓的方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)、,且,求的取值范圍.

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