Question

14．已知函數(shù)f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，A、B、C分別為三邊a，b，c所對的角，若a=$\sqrt{3}$，f（a）=1，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式可求函數(shù)f（x）的最小正周期，由-$\frac{π}{2}$+2kπ＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由f（a）=1，可得2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，結(jié)合0＜A＜π，可求A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得3=（b+c）²-3bc，又bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²，可得3≥（b+c）²-3（$\frac{b+c}{2}$）²，即可解得b+c的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
∴由-$\frac{π}{2}$+2kπ＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ），k∈Z．
（2）由f（a）=1，可得2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，又0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，即3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
又bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²，
所以3=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3（$\frac{b+c}{2}$）²，
故b+c$≤2\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=c且b²+c²-bc=3，即b=c=$\sqrt{3}$時等號成立．
因此b+c的最大值為2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)周期公式的應(yīng)用，考查了余弦定理，基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握公式及定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．