Question

16．①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），f（sinθ）＞f（cosθ）．
②若銳角α、β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜$\frac{π}{2}$．
③函數(shù)f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$-2x）+1的單調(diào)增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]，k∈Z$
④cos（x+$\frac{π}{6}$）≥-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的解集為{x|$\frac{5π}{6}$+2kπ≤x≤$\frac{7π}{6}$+2kπ，k∈Z}
其中真命題的個(gè)數(shù)有（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)題意，依次分析所給的4個(gè)命題：對于①、結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的性質(zhì)，分析可得f（x）在區(qū)間[0，1]上為減函數(shù)，又由θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），有sinθ＞cosθ，則有f（sinθ）＜f（cosθ）；故①錯(cuò)誤；對于②、利用誘導(dǎo)公式分析可得sin（$\frac{π}{2}$-α）＞sinβ，又由正弦函數(shù)的性質(zhì)，則有$\frac{π}{2}$-α＞β，即α+β＜$\frac{π}{2}$；故②正確；對于③、將f（x）的解析式變形可得f（x）=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解可得f（x）的遞增區(qū)間，可得③錯(cuò)誤；對于④、結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)分析可得④錯(cuò)誤；綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，依次分析所給的4個(gè)命題：
對于①、f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，則f（x）在區(qū)間[0，1]上為減函數(shù)，
又由θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），有sinθ＞cosθ，則有f（sinθ）＜f（cosθ）；故①錯(cuò)誤；
對于②、若銳角α、β滿足cosα＞sinβ，即sin（$\frac{π}{2}$-α）＞sinβ，又由0＜$\frac{π}{2}$-α＜$\frac{π}{2}$、0＜β＜$\frac{π}{2}$，
則有$\frac{π}{2}$-α＞β，即α+β＜$\frac{π}{2}$；故②正確；
對于③、f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$-2x）+1=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
解可得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
其單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，故③錯(cuò)誤；
對于④、若cos（x+$\frac{π}{6}$）≥-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則有2kπ-$\frac{5π}{6}$≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{5π}{6}$，解可得2kπ-π≤x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，
即cos（x+$\frac{π}{6}$）≥-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的解集為{x|2kπ-π≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z}；故④錯(cuò)誤；
四個(gè)命題中，只有②是正確的；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查命題真假的判斷，涉及知識點(diǎn)較多，注意要熟悉常見的知識點(diǎn)的應(yīng)用．