Question

11．已知函數f（x）=1-$\frac{2}{{1+{2^x}}}$的定義域為R．
（1）判斷函數的奇偶性并證明．
（2）若對任意的x∈R，不等式f（x²-2x）+f（t-x）＞0恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）計算f（-x）并化簡，得出f（-x）和f（x）的關系，從而得出f（x）的奇偶性；
（2）先判斷f（x）的單調性，再根據f（x）的單調性和奇偶性化簡即可得出t＞3x-x²恒成立，求出右側函數的最大值即可得出t的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=1-$\frac{2}{{1+{2^x}}}$=$\frac{{2}^{x}-1}{1+{2}^{x}}$，
f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{1+{2}^{-x}}$=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數．
（2）∵y=2^x是R上的增函數，
∴f（x）=1-$\frac{2}{1+{2}^{x}}$是R上的增函數，
∵f（x）是奇函數，f（x²-2x）+f（t-x）＞0，
∴f（x²-2x）＞-f（t-x）=f（x-t），
∴x²-2x＞x-t恒成立，
∴t＞3x-x²恒成立，
令g（x）=3x-x²=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴g_max（x）=$\frac{9}{4}$，
∴t＞$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了函數奇偶性，單調性的判斷與應用，函數最值的計算，屬于中檔題．