Question

6．已知一次函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，g（x）=f（x）（x+m），且f（f（x））=16x+5
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）在（1，+∞）上單調遞增，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=kx+b，（k≠0）代入f（f（x））=16x+5，可求出k，b；
（2）g（x）圖象開口向上，故只需令（1，+∞）位于對稱軸右側即可．

解答 解：（1）設f（x）=kx+b，
∵一次函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)，
∴k＞0，
則f（f（x））=k（kx+b）+b=k²x+kb+b=16x+5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=16}\\{kb+b=5}\end{array}\right.$，解得k=4，b=1．
∴f（x）=4x+1．
（2）g（x）=（4x+1）（x+m）=4x²+（4m+1）x+m，
∴g（x）圖象開口向上，對稱軸為x=-$\frac{4m+1}{8}$，
∵g（x）在（1，+∞）上單調遞增，
∴-$\frac{4m+1}{8}$≤1，解得m$≥-\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及二次函數(shù)的單調區(qū)間，判斷對稱軸與區(qū)間關系是關鍵．