Question

16．f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≤0時，恒有f（x）+xf′（x）＜0，設(shè)g（x）=xf（x），則滿足g（2x-1）＜g（3）的實數(shù)x的取值范圍是（　�。�

• A． （2，+∞）
• B． （-1，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性構(gòu)造出新函數(shù)，利用xf′（x）+f（x）＜0，得到：[xf（x）]′＜0，進一步分析出偶函數(shù)的單調(diào)性在對稱區(qū)間內(nèi)單調(diào)性相反．故建立不等式，解出即可．

解答 解：定義在R上的偶函數(shù)f（x），
所以：f（-x）=f（x）
由f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），
當(dāng)x∈（-∞，0]時，恒有xf′（x）+f（x）＜0
即：[xf（x）]′＜0
所以：函數(shù)F（x）=xf（x）在（-∞，0）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
由于f（x）為偶函數(shù)，
令g（x）=xf（x），
則：g（x）為奇函數(shù)．
所以函數(shù)g（x）=xf（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
則：滿足g（3）＞g（2x-1）滿足的條件是：2x-1＜3，解得：x＜2，
所以x的范圍是：（-∞，2）
故選：D．

點評 本題考查的知識要點：函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，構(gòu)造性函數(shù)解不等式組．屬于中檔題．