Question

1．設(shè)有兩個(gè)命題：命題p：函數(shù)f（x）=-x²+ax+1在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；命題q：已知函數(shù)f（x）=2x³-6x²在[a，a+1]上單調(diào)遞減，若命題p∨q為真，p∧q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 第一步：分別求出p，q為真時(shí)a的取值范圍；
第二步：由題設(shè)“p∧q為假命題，p∨q為真命題”推斷p，q的真假性；
第三步：綜合前面兩步，由p，q的真假性即可求出a的取值范圍．

解答 解：p為真命題?f′（x）=-2x+a≤0在[1，+∞）上恒成立?a≤2x在[1，+∞）上恒成立?a≤2，
q為真命題?f′（x）=6x²-12x≤0，即0≤x≤2在[a，a+1]上恒成立，$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{a+1≤2}\end{array}\right.$，解得0≤a≤1，
∵命題p∨q為真，p∧q為假，
∴p，q中必有一個(gè)為真，且另一個(gè)為假，
①當(dāng)p為真，q為假時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{a＜0或a＞1}\end{array}\right.$，解得a＜0；
②當(dāng)p為假，q為真時(shí)，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{0≤a≤1}\end{array}\right.$，無解，
綜上，a的取值范圍為（-∞，0）．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)的取值范圍，用求導(dǎo)的方法來解決．對于這種涉及到兩個(gè)命題的并、交的復(fù)合命題，要充分討論，把各種情況考慮進(jìn)去，最后通過求交集或者并集來求解．