Question

2．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，長軸長為2$\sqrt{2}$，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（-1，$\frac{2}{3}$），求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a，c的值，再由隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線方程y=x+m，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合AB⊥PM求得m，可得A，B的坐標(biāo)，求出|AB|，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出P到AB的距離，代入三角形面積公式得答案．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{2a=2\sqrt{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{2}$，c=1，
又b²=a²-c²=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，
AB中點(diǎn)M（x₀，y₀），則${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2m}{3}$，${y}_{0}={x}_{0}+m=\frac{m}{3}$．
∵AB為等腰三角形PAB的底邊，∴AB⊥PM，
又P（-1，$\frac{2}{3}$），∴${k}_{PM}=\frac{\frac{2}{3}-\frac{m}{3}}{-1+\frac{2m}{3}}=-1$，解得m=1．
此時(shí)方程3x²+4mx+2m²-2=0化為3x²+4x=0，
解得${x}_{1}=-\frac{4}{3}$，x₂=0．
∴${y}_{1}=-\frac{1}{3}$，y₂=1，則A（$-\frac{4}{3}，\frac{1}{3}$），B（0，1），
∴|AB|=$\sqrt{（-\frac{4}{3}-0）^{2}+（\frac{1}{3}-1）^{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
點(diǎn)P到直線AB的距離d=$\frac{|-1-\frac{2}{3}+1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$．∴${S}_{△PAB}=\frac{1}{2}•|AB|•d=\frac{4}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．