Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x-x²-1，x∈R．
（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）當(dāng)x∈R時(shí)，求證：f（x）≥x²+x；
（3）若f（x）＞kx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得f′（0）=1，再求出切點(diǎn)為（0，0），利用直線方程的點(diǎn)斜式可得函數(shù)的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）令g（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值為0，可得g（x）≥0，即可證明f（x）≥-x²+x；
（3）f（x）＞kx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立等價(jià)于k＜$\frac{f（x）}{x}$對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立．令φ（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值為e-2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍可求．

解答 （1）解：f′（x）=e^x-2x，
∴f′（0）=1，切點(diǎn)為（0，0），
∴函數(shù)的圖象在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=x；
（2）證明：令g（x）=f（x）+x²-x=e^x-x-1，則由g′（x）=e^x-1=0，得x=0，
∴x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（0）=0，
∴g（x）≥0，即f（x）≥-x²+x；
（3）解：f（x）＞kx對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立等價(jià)于k＜$\frac{f（x）}{x}$對(duì)任意的x∈（0，+∞）恒成立．
令φ（x）=$\frac{f（x）}{x}$，∴φ′（x）=$\frac{（x-1）（{e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$，
由（2）知x∈（0，+∞）時(shí)，e^x-x-1＞0，
∴x∈（0，1）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，+∞）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增．
∴φ（x）_min=φ（1）=e-2，
∴k＜e-2．
∴k的取值范圍（-∞，e-2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其最值的求法，訓(xùn)練了恒成立問(wèn)題的求解方法，是中檔題．