Question

1．已知函數(shù)f（x）=ax-$\frac{x}-2lnx{，_{\;}}$f（1）=0
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為0，且g（x）=$\frac{1}{{{{（1-x）}^n}}}+\frac{x-1}{2}-\frac{1}{2x-2}-\frac{1}{2}$f（x-1），（x≥2，n∈N^*）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時(shí)，有g(shù)（x）≤x-1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（1）=0，可得a=b，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論a=0，a≠0，若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，或遞減，由參數(shù)分離，運(yùn)用基本不等式求出最值，可得a的范圍；
（Ⅱ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得a=1，化簡f（x）和g（x），令$h（x）=g（x）-x=\frac{1}{{{{（{1-x}）}^n}}}+ln（{x-1}）-x$，求出導(dǎo)數(shù)，討論n為奇數(shù)、偶數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性即可得證．

解答 解：（Ⅰ） 函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
由f（1）=0，所以有a=b，
所以$f（x）=ax-\frac{a}{x}-2lnx$，
${f^/}（x）=a+\frac{a}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{a{x^2}-2x+a}}{x^2}$，
當(dāng)a=0時(shí)，${f^/}（x）=-\frac{2}{x}＜0$恒成立，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減； 
當(dāng)a≠0時(shí)，若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
則有f′（x）≥0恒成立，即$a≥\frac{2x}{{{x^2}+1}}=\frac{2}{{x+\frac{1}{x}}}$，
因?yàn)閤＞0，$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{2}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}}$=1，
所以a≥1，且a=1時(shí)f′（x）不恒為0．         
若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則有f′（x）≤0恒成立，
即$a≤\frac{2x}{{{x^2}+1}}$，
因?yàn)閤＞0所以a≤0，
綜上，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)時(shí)，a的取值范圍是a≤0或a≥1；
（Ⅱ）證明：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為0，
所以f′（1）=0，即2a-2=0解得a=1，
所以$f（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx$，$g（x）=\frac{1}{{{{（{1-x}）}^n}}}+ln（{x-1}）$，
令$h（x）=g（x）-x=\frac{1}{{{{（{1-x}）}^n}}}+ln（{x-1}）-x$，
所以${h^/}（x）=n\frac{1}{{{{（{1-x}）}^{n+1}}}}+\frac{1}{x-1}-1$，
當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，因?yàn)閤≥2所以x-1≥1，
所以$n\frac{1}{{{{（{1-x}）}^{n+1}}}}＜0，0＜\frac{1}{x-1}＜1$，
所以h′（x）＜0即函數(shù)h（x）在[2，+∞）單調(diào)遞減，
所以h（x）≤h（2）=-1，即g（x）≤x-1；
當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，令T（x）=ln（x-1）-x，
則${T^/}（x）=\frac{1}{x-1}-1≤0$，
所以函數(shù)T（x）在[2，+∞）單調(diào)遞減，
所以T（x）≤T（2）=-2，
又因?yàn)閤≥2時(shí)1-x＜0，
所以（4k²+1）x²+8kbx+4b²-4=0，
所以h′（x）＜0，即函數(shù)h（x）在[2，+∞）單調(diào)遞減，
所以h（x）≤h（2）=-1，即g（x）≤x-1．
綜上，對(duì)任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時(shí)，有g(shù)（x）≤x-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，主要考查的單調(diào)性的運(yùn)用，不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．