Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，1），向量$\overline{n}$與向量$\overrightarrow{m}$的夾角為$\frac{3}{4}$π，且$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-1．
（1）求向量$\overrightarrow{n}$；
（2）若向量$\overrightarrow{n}$與向量$\overrightarrow{q}$=（1，0）的夾角為$\frac{π}{2}$，向量$\overrightarrow{p}$=（2sinA，4cos²$\frac{A}{2}$），求|2$\overrightarrow{n}+\overrightarrow{p}$|的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)向量$\overrightarrow{n}$=（x，y），由向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示，解方程可得x，y；
（2）由題意可得$\overrightarrow{n}$=（0，-1），再由向量的模的公式，結(jié)合二倍角的余弦公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：（1）設(shè)向量$\overrightarrow{n}$=（x，y），
則x+y=-1，$\sqrt{2}$•$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$•（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1，
解得x=0，y=-1或x=-1，y=0．
即有$\overrightarrow{n}$=（0，-1）或（-1，0）；
（2）由題意可得x=0，則$\overrightarrow{n}$=（0，-1），
2$\overrightarrow{n}+\overrightarrow{p}$=（2sinA，4cos²$\frac{A}{2}$-2）=（2sinA，2cosA），
即有|2$\overrightarrow{n}+\overrightarrow{p}$|=$\sqrt{4si{n}^{2}A+4co{s}^{2}A}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示，考查二倍角的余弦公式和同角的平方關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．