Question

1．函數(shù)f（x）=x²-2x+2在區(qū)間[t，t+1]上的最小值為g（t），求g（t）的表達(dá)式及其最值．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的對稱軸，通過討論t的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出g（t）的表達(dá)式，畫出g（t）的圖象，得到最值即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的對稱軸是x=1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
①當(dāng)t+1≤1，即t≤0時，f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞減，
g（t）=f（x）_min=f（t+1）=t²+1，
②1＜t+1＜2，即0＜t＜1時，f（x）在[t，1）遞減，在（1，t+1]遞增，
∴g（t）=f（x）_min=f（1）=1，
③t≥1時，函數(shù)f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞增，
∴g（t）=f（x）_min=f（t）=t²-2t+2，
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+1，（t≤0）}\\{1，（0＜t＜1）}\\{{t}^{2}-2t+2（t≥1）}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)g（t）的圖象，如圖示：
∴g（t）的最小值是1，無最大值．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．