Question

6．某學(xué)校有120名教師，且年齡都在20歲到60歲之間，各年齡段人數(shù)按分組，其頻率分布直方圖如圖所示，學(xué)校要求每名教師都要參加兩項(xiàng)培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行結(jié)業(yè)考試．已知各年齡段兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)如表示，假設(shè)兩項(xiàng)培訓(xùn)是相互獨(dú)立的，結(jié)業(yè)考試成績也互不影響．

年齡分組	A項(xiàng)培訓(xùn)成績優(yōu)秀人數(shù)	B項(xiàng)培訓(xùn)成績優(yōu)秀人數(shù)
[20，30）	30	18
[30，40）	36	24
[40，50）	12	9
[50，60]	4	3

（1）若用分層抽樣法從全校教師中抽取一個容量為40的樣本，求從年齡段[20，30）抽取的人數(shù)；
（2）求全校教師的平均年齡；
（3）隨機(jī)從年齡段[20，30）和[30，40）內(nèi)各抽取1人，設(shè)這兩人中兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖能求出從年齡段[20，30）抽取的人數(shù)．
（2）由頻率分布直方圖能求出全校教師的平均年齡．
（3）由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖知，0.35×40=14．…（2分）
（2）由頻率分布直方圖得：
全校教師的平均年齡為：
25×0.35+35×0.4+45×0.15+55×0.1=35．…（4分）
（3）∵在年齡段[20，30）內(nèi)的教師人數(shù)為120×0.35=42（人），從該年齡段任取1人，
由表知，此人A項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為$\frac{30}{42}=\frac{5}{7}$，
B項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為$\frac{18}{42}=\frac{3}{7}$，
∴此人A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為$\frac{5}{7}×\frac{3}{7}=\frac{15}{49}$，…（6分）
∵在年齡段[30，40）內(nèi)的教師人數(shù)為120×0.4=48（人），
從該年齡段任取1人，由表知，此人A項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為$\frac{36}{48}=\frac{3}{4}$，
B項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為$\frac{24}{48}=\frac{1}{2}$，
∴此人A、B兩項(xiàng)培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$…（8分）
由題設(shè)知X的可能取值為0，1，2．
∴$P（X=0）=（1-\frac{15}{49}）（1-\frac{3}{8}）=\frac{85}{196}，P（X=1）=\frac{15}{49}×（1-\frac{3}{8}）+（1-\frac{15}{49}）×\frac{3}{8}=\frac{177}{392}$，
$P（X=2）=\frac{15}{49}×\frac{3}{8}=\frac{45}{392}$，…（10分）
∴X的概率分布為

X	0	1	2
P	$\frac{85}{196}$	$\frac{177}{392}$	$\frac{45}{392}$

X的數(shù)學(xué)期望為$EX=0×\frac{85}{196}+1×\frac{177}{392}+2×\frac{45}{392}=\frac{267}{392}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件乘法公式的合理運(yùn)用．