Question

14．某籃球隊(duì)對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員的籃球技能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究，針對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員在投籃命中時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在籃筐中心的水平距離這項(xiàng)指標(biāo)，對(duì)某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了若干場(chǎng)次的統(tǒng)計(jì)，依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如下頻率分布直方圖：
（Ⅰ）依據(jù)頻率分布直方圖估算該運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí)，他到籃筐中心的水平距離的中位數(shù)；
（Ⅱ）在某場(chǎng)比賽中，考察他前4次投籃命中到籃筐中心的水平距離的情況，并且規(guī)定：運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí)，他到籃筐中心的水平距離不少于4米的記1分，否則扣掉1分．用隨機(jī)變量X表示第4次投籃后的總分，將頻率視為概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I） 設(shè)該運(yùn)動(dòng)員到籃筐的水平距離的中位數(shù)為x，推導(dǎo)出0.40×（5-x）+0.20×1=0.5，由此能求出該運(yùn)動(dòng)員到籃筐的水平距離的中位數(shù)．
（2）由頻率分布直方圖得投籃命中時(shí)距離籃筐距離超過(guò)4米的概率為p=$\frac{3}{5}$，隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為-4，-2，0，2，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（I） 設(shè)該運(yùn)動(dòng)員到籃筐的水平距離的中位數(shù)為x，
∵0.05×2+0.10+0.20＜0.5，且（0.40+0.20）×1=0.6＞0.5，
∴x∈[4，5]…（2分）
由0.40×（5-x）+0.20×1=0.5，解得x=4.25，
∴該運(yùn)動(dòng)員到籃筐的水平距離的中位數(shù)是4.25（米）．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖得投籃命中時(shí)距離籃筐距離超過(guò)4米的概率為p=$\frac{3}{5}$，
隨機(jī)變量ξ的所有可能取值為-4，-2，0，2，4，…（8分）
$P（{X=-4}）={（{\frac{2}{5}}）^4}=\frac{16}{625}$，
$P（X=2）=C_4^3{（\frac{2}{5}）^1}{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{216}{625}$，
$P（X=-2）=C_4^1{（\frac{2}{5}）^3}（\frac{3}{5}）=\frac{96}{625}$，
$P（X=0）=C_4^2{（\frac{2}{5}）^2}{（\frac{3}{5}）^2}=\frac{216}{625}$，
$P（X=2）=C_4^3{（\frac{2}{5}）^1}{（\frac{3}{5}）^3}=\frac{216}{625}$，
$P（{X=4}）={（{\frac{3}{5}}）^4}=\frac{81}{625}$，
∴X的分布列為：

X	-4	-2	0	2	4
P	$\frac{16}{625}$	$\frac{96}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{216}{625}$	$\frac{81}{625}$

EX=（-4）×$\frac{16}{625}$+（-2）×$\frac{96}{625}$+0×$\frac{216}{625}$+2×$\frac{216}{625}$+4×$\frac{81}{625}$=$\frac{4}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查中位數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．