已知函數(shù).
（1）當時，試確定函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)在上的最小值；
（3）試證明：.

（1）當時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）先求出函數(shù)的定義域求出，然后將代入函數(shù)的解析式，求出導數(shù)，并利用導數(shù)求出函數(shù)的減區(qū)間與增區(qū)間 ；（2）求出，并求出方程的，對的符號以及是否在區(qū)間內(nèi)進行分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在上的最小值；（3）利用分析法將不等式等價轉(zhuǎn)化為，然后令，將原不等式等價轉(zhuǎn)化為在，利用（1）中的結(jié)論進行證明.
試題解析：（1）函數(shù)的定義域為，當時，，則，
解不等式，得；解不等式，得，
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；
（2），，
當時，，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
函數(shù)在處取得最小值，即；
當時，令，
當時，即當，，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
函數(shù)在處取得最小值，即；
當，即當時，當，，當時，，
此時函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，
即，
綜上所述，；
（3）要證不等式，即證不等式，即證不等式，
即證不等式，
令，則 則，故原不等式等價于，
即不等式在上恒成立，
由（1）知，當時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
即函數(shù)

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，.
(Ⅰ)若，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；
(Ⅱ)若恒成立，求的取值范圍. 注：是自然對數(shù)的底數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)．
（1）當時，求函數(shù)在上的最大值；
（2）令，若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；
（3）當時，函數(shù)的圖象與軸交于兩點，且，又是的導函數(shù)．若正常數(shù)滿足條件，證明：．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)(≠0,∈R)
(Ⅰ)若，求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)若在區(qū)間（0，e］上至少存在一點，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設.
(Ⅰ)若，求的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ) 若對一切恒成立,求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù) 
(1)當時，求函數(shù)的最大值；
(2)令（）其圖象上任意一點處切線的斜率≤ 恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
(3)當，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）如果函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在正實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的零點（是自然對數(shù)的底數(shù)）？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)只有一個零點，求的取值范圍.
（2）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù).
（1）若，對一切恒成立，求的最大值；
（2）設，且、是曲線上任意兩點，若對任意，直線的斜率恒大于常數(shù)，求的取值范圍.

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