Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)的零點(diǎn)至少有兩個(gè)，求實(shí)數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為， ，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）3

【解析】（1）第（1）問(wèn)，直接利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)第（2）問(wèn)， 至少有兩個(gè)根，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，作出函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合得到實(shí)數(shù)a的最小值.

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， ，所以有，

令

所以當(dāng)或時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減.

故的單調(diào)遞增區(qū)間為， ，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）令，其在區(qū)間內(nèi)至少有兩個(gè)根，則

至少有兩個(gè)根，

記，

所以，

記，

所以，

令（舍）

所以當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減， 時(shí)， ， 單調(diào)遞增，

所以的最小值為，

又，所以時(shí)， ，

又當(dāng)時(shí)， ，

因此必存在唯一的，使得，

因此時(shí)， ， 單調(diào)遞增， ， ， 單調(diào)遞減，

時(shí)， ， 單調(diào)遞增，畫(huà)出的大致圖象，如圖所示，

因此函數(shù)的極小值為，極大值為，

又由于，

因此當(dāng)時(shí)，或時(shí)，數(shù)形結(jié)合易知函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn).

綜合得函數(shù)的零點(diǎn)至少有兩個(gè)時(shí)，實(shí)數(shù)的最小值為3.