Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₀∈R，a_n+1=2ⁿ-3a_n，（n=0，1，2，…）
（1）設(shè)b_n=

an

2n

，試用a₀，n表示b_n（即求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式）；
（2）求使得數(shù)列{a_n}遞增的所有a₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）a_n+1=2ⁿ-3a_n⇒

an+1

2n+1

=-

3

2

•

an

2n

+

1

2

，即bn+1=-

3

2

bn+

1

2

，變形整理即可求得，bn=

1

5

+(a0-

1

5

)(-

3

2

)n；
（2）由（1）知

an

2n

=

1

5

+(a0-

1

5

)(-

3

2

)n，從而an=

1

5

•2n+2n(a0-

1

5

)(-

3

2

)n，于是有an-an-1=

2n

10

[

40

3

•(a0-

1

5

)(-

3

2

)n+1]，設(shè)A=

40

3

•(a0-

1

5

)，則an-an-1=

2n

10

[A(-

3

2

)n+1]，依題意，證明a0=

1

5

即可．

解答： 解：（1）∵a_n+1=2ⁿ-3a_n，
∴

an+1

2n+1

=-

3

2

•

an

2n

+

1

2

，（2分）
即bn+1=-

3

2

bn+

1

2

，變形得，bn+1-

1

5

=-

3

2

(bn-

1

5

)，（2分）
故bn-

1

5

=(b0-

1

5

)(-

3

2

)n，因而，bn=

1

5

+(a0-

1

5

)(-

3

2

)n；（1分）
（2）由（1）知

an

2n

=

1

5

+(a0-

1

5

)(-

3

2

)n，從而an=

1

5

•2n+2n(a0-

1

5

)(-

3

2

)n，（1分）
故an-an-1=

2n

10

[

40

3

•(a0-

1

5

)(-

3

2

)n+1]，（3分）
設(shè)A=

40

3

•(a0-

1

5

)，
則an-an-1=

2n

10

[A(-

3

2

)n+1]，下面說(shuō)明a0=

1

5

，討論：
若a0＜

1

5

，則A＜0，此時(shí)對(duì)充分大的偶數(shù)n，[A(-

3

2

)n+1]＜0，有a_n＜a_n-1，這與{a_n}遞增的要求不符；（2分）
若a0＞

1

5

，則A＞0，此時(shí)對(duì)充分大的奇數(shù)n，[A(-

3

2

)n+1]＜0，有a_n＜a_n-1，這與{a_n}遞增的要求不符；（2分）
若a0=

1

5

，則A=0，an-an-1=

2n

10

＞0，始終有a_n＞a_n-1．綜上，a0=

1

5

（1分）
注意：直接研究通項(xiàng)，只要言之成理也相應(yīng)給分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，著重考查等比關(guān)系的確定及構(gòu)造函數(shù)思想，考查推理、分析與運(yùn)算的綜合能力，屬于難題．