Question

16．給出下列敘述：
①若關于x的不等式$\frac{ax-1}{x+1}$＜0的解集是（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{2}$，+∞），則a=-2；
②若x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，則x+y的最小值為16；
③已知a，b，c，d為實數(shù)，且c＞d，若a＞b，則a-c＞b-d；
④函數(shù)y=log_a（x+3）-1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A的坐標滿足方程mx+ny+1=0，其中mn＞0，則$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值為4．
其中所有正確敘述的序號是①②．

Answer 1

分析 對4個選項分別進行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①由題意，-$\frac{1}{2}$a-1=0，∴a=-2，正確；
②若x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$=1，則x+y=（x+y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{9}{y}$）=10+$\frac{y}{x}$+$\frac{9x}{y}$≥10+6=16，∴x+y的最小值為16，正確；
③已知a，b，c，d為實數(shù)，且c＞d，因為同向不等式不能相減，故若a＞b，則a-c＞b-d，不正確；
④∵x=-2時，y=log₂1-1=-1，
∴函數(shù)y=log₂（x+3）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（-2，-1）即A（-2，-1），
∵點A在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$）（2m+n）=4+$\frac{n}{m}$+$\frac{4m}{n}$≥4+4=8，
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值為8，不正確．
故答案為：①②．

點評 本題考查不等式的解法，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．