Question

如圖，F(xiàn)是拋物線C：y²=2px的焦點，點A（4，2）為拋物線于內(nèi)一點，點P為拋物線上一動點，|PA|+|PF|的最小值為8
（1）求拋物線方程；
（2）在拋物線內(nèi)過點F任意作互相垂直的兩條弦MN和RS，問是否存在定點Q，使過點Q的動直線同時平分這兩條弦，若存在，求出定點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由拋物線的定義可知到焦點的距離即為到準(zhǔn)線的距離，再由三點共線距離最短，即可得到最小值，解方程即可得到拋物線方程；
（2）由條件設(shè)出設(shè)過F（2，0）的直線MN：y=k（x-2），RS：y=-

1

k

（x-2），聯(lián)立拋物線方程，消去y，運用韋達(dá)定理，中點坐標(biāo)公式，求得兩弦的中點，再求它們的直線方程，化簡整理即可得到．

解答： 解：（1）∵P點到拋物線的準(zhǔn)線x=-

p

2

的距離為d，
由拋物線的定義知d=|PF|，
∴（|PA|+|PF|）_min=（|PA|+d）_min=

p

2

+4，
∴

p

2

+4=8，解得p=8，
∴拋物線的方程為y²=16x．
（2）設(shè)過F（2，0）的直線MN：y=k（x-2），
則RS：y=-

1

k

（x-2），
聯(lián)立拋物線方程y²=16x，消去y，得，
k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
則x₁+x₂=4+

8

k2

，即有MN的中點B（2+

4

k2

，

4

k

），
同理可得RS的中點C（2+4k²，-4k），
假設(shè)存在定點Q，使過點Q的動直線同時平分這兩條弦，
則直線BC過Q，BC：y-（-4k）=

4 k +4k

4 k2 -4k2

（x-2-4k²），
化簡整理可得，y=

k

1-k2

（x-6），
則直線BC恒過定點（6，0）．
故存在定點Q（6，0），使過點Q的動直線同時平分這兩條弦．

點評：本題考查拋物線的定義、性質(zhì)和方程，考查聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去未知數(shù)，運用韋達(dá)定理，以及中點坐標(biāo)公式，考查直線恒過定點的問題，考查運算能力，屬于中檔題．