Question

已知⊙C的圓心C（3，1），被x軸截得的弦長為4

2

．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若圓C與直線x-y+a=0交于A，B兩點，且OA⊥OB，求a的值．

Answer 1

考點：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：（Ⅰ）設(shè)⊙C的半徑為r，由題意可知r2=(2

2

)2+12，由此能求出⊙C．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

x-y+a=0 (x-3)2+(y-1)2=9

，得2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0．由此利用韋達(dá)定理、根的判別式，結(jié)合已知條件能求出a=-1．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)⊙C的半徑為r，由題意可知r2=(2

2

)2+12，得r=3．
所以⊙C的方程為（x-3）²+（y-1）²=9．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立

x-y+a=0 (x-3)2+(y-1)2=9

，得2x²+（2a-8）x+a²-2a+1=0．…（6分）x₁+x₂=4-a，x₁x₂=

(a-1)2

2

由于OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，
又y₁=x₁+a，y₂=x₂+a，所以2x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²=0
所以2•

(a-1)2

2

+a(4-a)+a2=0
解得a=-1，…（10分）
判別式△=56-16a-4a²＞0．…（12分）
所以a=-1．…（13分）

點評：本題考查圓的方程的求法，考查實數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用．