Question

5．已知a，b為實數(shù)．
（Ⅰ）若a＞0，b＞0，求證：（a+b+$\frac{1}{a}$）（a²+$\frac{1}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$）≥9；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，求證：|1-ab|＞|a-b|．

Answer 1

分析 （I）使用基本不等式證明；
（II）使用分析法證明．

解答 證明：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，
∴a+b+$\frac{1}{a}$≥3$\root{3}$，${a}^{2}+\frac{1}+\frac{1}{{a}^{2}}$≥3$\root{3}{\frac{1}}$．
∴（a+b+$\frac{1}{a}$）（a²+$\frac{1}$+$\frac{1}{{a}^{2}}$）≥3$\root{3}$•3$\root{3}{\frac{1}}$=9．
（Ⅱ）欲證|1-ab|＞|a-b|，
只需證：（1-ab）²＞（a-b）²，即1+a²b²-a²-b²＞0．
只需證：（a²-1）（b²-1）＞0．
∵|a|＜1，|b|＜1，顯然上式成立．
∴|1-ab|＞|a-b|．

點評 本題考查了不等式的證明，屬于中檔題．