Question

10．已知數(shù)列{a_n}與[b_n}滿足a_n+1=3a_n，b_n=b_n+1-1，b₆=a₁=3，若（2λ-1）a_n＞36b_n，對一切n∈N*恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是（$\frac{13}{18}$，+∞）．

Answer 1

分析 化簡條件式求出a_n和b_n的通項公式求出，代入條件式得出λ＞$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$．利用數(shù)列的單調(diào)性得出右側(cè)數(shù)列的最大值即可得出λ的范圍．

解答 解：∵a_n+1=3a_n，b_n=b_n+1-1，b₆=a₁=3，
∴a_n=3ⁿ，b_n=b₆+（n-6）=3+n-6=n-3，
∵（2λ-1）a_n＞36b_n，
∴2λ-1＞$\frac{36（n-3）}{{3}^{n}}$，
∴λ＞$\frac{{3}^{n}+36（n-3）}{2×{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$，
令c_n═$\frac{1}{2}$+$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$，
∵$\frac{18（n-2）}{{3}^{n+1}}$-$\frac{18（n-3）}{{3}^{n}}$=$\frac{18（7-2n）}{{3}^{n+1}}$，
∴當(dāng)n≥5，{c_n}單調(diào)遞減，當(dāng)1＜n≤4時，{c_n}單調(diào)遞增，
∴當(dāng)n=4時c_n取得最大值c₄=$\frac{1}{2}+$$\frac{18×（4-3）}{{3}^{4}}$=$\frac{13}{18}$，
∴λ＞$\frac{13}{18}$，
故答案為：（$\frac{13}{18}$，+∞）

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式，數(shù)列通項的求法，數(shù)列最值的計算，屬于中檔題．