Question

19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，A，B分別為C的左，右頂點(diǎn)．P為C上一點(diǎn)，且PF⊥x軸．過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)E．若直線BM與y軸交點(diǎn)為N，且$\overrightarrow{EO}=3\overrightarrow{NO}$，則C的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，由PF⊥x軸設(shè)M（-c，t），
寫出直線AM的方程，求出AM與y軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)；
再寫出直線BM的方程，求出BM與y軸的交點(diǎn)N的坐標(biāo)；
根據(jù)$\overrightarrow{EO}=3\overrightarrow{NO}$列出方程求出$\frac{c}{a}$的值．

解答 解：橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F（-c，0），
且A（-a，0），B（a，0）；
由PF⊥x軸，不妨設(shè)M（-c，t），（t≠0）；
則直線AM的方程為$\frac{y}{t}$=$\frac{x+a}{-c+a}$，
令x=0，得y=$\frac{at}{a-c}$，
∴直線AM與y軸的交點(diǎn)為E（0，$\frac{at}{a-c}$）；
又直線BM的方程為$\frac{y}{t}$=$\frac{x-a}{-c-a}$，
令x=0，得y=$\frac{at}{a+c}$，
∴直線BM與y軸的交點(diǎn)為N（0，$\frac{at}{a+c}$）；
又$\overrightarrow{EO}=3\overrightarrow{NO}$，
∴$\frac{at}{a-c}$=$\frac{3at}{a+c}$，
化簡(jiǎn)得a=2c，
∴$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
則曲線C的離心率為$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓離心率的計(jì)算問(wèn)題，根據(jù)條件求出直線方程和點(diǎn)N，E的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．