Question

3．如圖平面直角坐標系xOy中，橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，A₁，A₂分別是橢圓的左、右兩個頂點，圓A₁的半徑為2，過點A₂作圓A₁的切線，切點為P，在x軸的上方交橢圓于點Q．則$\frac{PQ}{Q{A}_{2}}$=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 連結A₂P，可得△OPA₂是邊長為a的正三角形，由此算出PA₁、PO的方程，聯(lián)解求出點P的橫坐標m=-1．由A₂P與圓A₁相切得到A₂P⊥PA₁，從而得到直線A₂P的方程，將PA₂的方程與橢圓方程聯(lián)解算出Q點橫坐標s=$\frac{2}{7}$．由$\frac{PQ}{Q{A}_{2}}$=$\frac{{x}_{Q}-{x}_{P}}{{x}_{{A}_{2}}-{x}_{Q}}$，把前面算出的橫坐標代入即可求得$\frac{PQ}{Q{A}_{2}}$的值．

解答 解：連結PO、PA₁，可得△POA₁是邊長為2的等邊三角形，
∴∠PA₁O=∠POA₁=60°，可得直線PA₁的斜率k₁=tan60°=$\sqrt{3}$，
直線PO的斜率k₂=tan120°=-$\sqrt{3}$，
因此直線PA₁的方程為y=$\sqrt{3}$（x+2），直線PO的方程為y=-$\sqrt{3}$x，
設P（m，n），聯(lián)解PO、PA₁的方程可得m=-1．
∵圓A₁與直線PA₂相切于P點，
∴PA₂⊥PA₁，可得∠PA₂O=90°-∠PA₁O=30°，
直線PA₂的斜率k=tan150°=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，因此直線PA₂的方程為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-2），
代入橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，消去y，得$\frac{7}{3}$x²-$\frac{16}{3}$x+$\frac{4}{3}$=0，解之得x=2或x=$\frac{2}{7}$．
∵直線PA₂交橢圓于A₂（2，0）與Q點，∴設Q（s，t），可得s=$\frac{2}{7}$．
由此可得$\frac{PQ}{Q{A}_{2}}$=$\frac{{x}_{Q}-{x}_{P}}{{x}_{{A}_{2}}-{x}_{Q}}$=$\frac{s-m}{2-s}$=$\frac{\frac{2}{7}+1}{2-\frac{2}{7}}$=$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題給出與橢圓相關的直線與圓相切的問題，求線段的比值．著重考查了直線的基本量與基本形式、直線與圓的位置關系、橢圓的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．