Question

4．若m∈[-1，4]，n∈[0，2]．
（1）求函數(shù)f（x）=x²-4mx+4n²在區(qū)間[1，4]上為單調(diào)函數(shù)的概率；
（2）在區(qū)間[0，5]內(nèi)任取兩個實數(shù)x，y，求事件：“x²+y²＞（m-n）²恒成立的概率．

Answer 1

分析 （1）結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出函數(shù)f（x）=x²-4mx+4n²在區(qū)間[1，4]上為單調(diào)函數(shù)的m的范圍，代入幾何概型概率公式，可得答案．
（2）求出在區(qū)間[0，5]內(nèi)任取兩個實數(shù)x，y對應(yīng)區(qū)域的面積和滿足事件“x²+y²＞16”的區(qū)域面積，代入幾何概型概率公式，可得答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-4mx+4n²的對稱軸為直線x=2m，
則函數(shù)f（x）=x²-4mx+4n²在區(qū)間[1，4]上為單調(diào)函數(shù)，
則2m≤1，或2m≥4，
又∵m∈[-1，4]，
∴m∈[-1，$\frac{1}{2}$]∪[2，4]，
故函數(shù)f（x）=x²-4mx+4n²在區(qū)間[1，4]上為單調(diào)函數(shù)的概率P=$\frac{\frac{3}{2}+2}{5}$=$\frac{7}{10}$；
（2）∵m∈[-1，4]，n∈[0，2]．
∴當(dāng)m=4，n=0時（m-n）²取最大值16，
在區(qū)間[0，5]內(nèi)任取兩個實數(shù)x，y，
若“x²+y²＞（m-n）²恒成立”，則“x²+y²＞16”，
在區(qū)間[0，5]內(nèi)任取兩個實數(shù)x，y，（x，y）對應(yīng)的平面區(qū)域為邊長為5的正方形，面積為25，
事件“x²+y²＞16”對應(yīng)的平面區(qū)域是第一象限內(nèi)，以原點為圓心，以4為半徑的圓外的區(qū)域（包括邊界），面積為：25-$\frac{1}{4}•π•{4}^{2}$=25-4π，
故事件：“x²+y²＞（m-n）²恒成立”的概率P=$\frac{25-4π}{25}$

點評 本題考查的知識點是幾何概型概率計算公式，計算出滿足條件和所有基本事件對應(yīng)的幾何量，是解答的關(guān)鍵，難度中檔．