Question

13．已知橢圓C的兩焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且過點P（-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點Q是橢圓C上除長軸兩端點外的任意一點，試問在x軸上是否存在兩定點A、B，使得直線QA、QB的斜率之積為-$\frac{1}{2}$？若存在，求出所有滿足條件的定點A，B的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，橢圓的方程可得．
（2）假設(shè)存在兩定點，并設(shè)出坐標(biāo)，分別表示出QT和QS的斜率表示出k，把橢圓的方程代入，聯(lián)立方程求得s和t，即可求得兩定點的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
因為橢圓C的兩焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且過點P（-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$）．
所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-^{2}=1}\\{\frac{\frac{16}{9}}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{9}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，
所以a=$\sqrt{2}$，b=1，
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（3）假設(shè)存在兩定點為A（s，0），B（t，0），
使得對于橢圓上任意一點Q（x，y）（除長軸兩端點）都有k_Qt•k_Qs=-$\frac{1}{2}$，
即$\frac{y}{x-s}•\frac{y}{x-t}$=-$\frac{1}{2}$，將y²=$1-\frac{{x}^{2}}{2}$代入并整理得$\frac{1}{2}$（s+t）x-$\frac{1}{2}$st-1=0（*）
所以$\left\{\begin{array}{l}{s+t=0}\\{-\frac{1}{2}st-1=0}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{s=\sqrt{2}}\\{t=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{s=-\sqrt{2}}\\{t=\sqrt{2}}\end{array}\right.$．
所以有且只有兩定點（$\sqrt{2}$，0），（-$\sqrt{2}$，0），使得k_Qt•k_QB為定值-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生綜合分析問題和推理能力．