Question

10．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和CD上，且$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{9λ}$$\overrightarrow{DC}$，則當(dāng)λ=$\frac{2}{3}$時(shí)，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$有最小值．

Answer 1

分析 由已知求得AB=BC=CD=2，再由$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$）•（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$），把$\overrightarrow{BE}$=λ$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}$=$\frac{1}{9λ}$$\overrightarrow{DC}$代入，展開(kāi)后代入數(shù)量積公式求得答案．

解答 解：在等腰梯形ABCD中，∵AB∥CD，AB=4，BC=2，∠ABC=60°，
∴AB=BC=CD=2，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}$）•（$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}$）=（$\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{BC}$）•（$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{9λ}\overrightarrow{DC}$）
=$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}+λ\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{AD}$$+\frac{1}{9λ}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{DC}+\frac{1}{9}\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DC}$
=$4×2×cos60°+λ×2×2×cos60°+\frac{1}{9λ}$×4×2$+\frac{1}{9}×2×2×cos120°$
=$\frac{34}{9}+2λ+\frac{8}{9λ}$$≥\frac{34}{9}+2\sqrt{2λ•\frac{8}{9λ}}=\frac{34}{9}+\frac{8}{3}=\frac{58}{9}$．
當(dāng)且僅當(dāng)2$λ=\frac{8}{9λ}$，即$λ=\frac{2}{3}$時(shí)上式等號(hào)成立．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．