Question

已知數(shù)列{a_n}中，S_n是它的前n項和，并且2a_n是S_n+1與-2的等差中項，a₁=1，
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n（n=1，2，…），求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前n項和公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a_n+2-2a_n+12（a_n+1-2a_n），由b_n=a_n+1-2a_n，得b_n+1=2b_n，由此證明{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，
（2）由S₂=a₁+a₂=4a₁+2，又a₁=1，得a₂=5，從而得到bn=3•2n-1．設(shè)cn=

an

2n

，則c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

bn

2n+1

，將bn=3•2n-1，代入，得c_n+1-c_n=

3

4

，所以cn=

1

2

+

3

4

(n-1)=

1

4

(3n-1)，由此求出an=2n•cn=（3n-1）•2^n-2．
（3）n≥2時，S_n=4a_n-1+2=（3n-4）+2，n=1也成立，由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項和公式．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，S_n是它的前n項和，并且2a_n是S_n+1與-2的等差中項，a₁=1，
∴S_n+1=4a_n+2，①，∴S_n+2=4a_n+1+2，②
②-①，得a_n+2=S_n+2-S_n+1=4a_n+1-4a_n，
變形得a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∵b_n=a_n+1-2a_n，∴b_n+1=2b_n，
∴{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，
（2）∵S₂=a₁+a₂=4a₁+2，又a₁=1，∴a₂=5，
∴b₁=a₂-2a₁=3，
∴bn=3•2n-1．
設(shè)cn=

an

2n

，則c_n+1-c_n=

an+1

2n+1

-

an

2n

=

an+1-2an

2n+1

=

bn

2n+1

，
將bn=3•2n-1，代入，得c_n+1-c_n=

3

4

，
∴{c_n}是公差為

3

4

的等差數(shù)列，c1=

a1

2

=

1

2

，
∴cn=

1

2

+

3

4

(n-1)=

3

4

n-

1

4

=

1

4

(3n-1)，
∴an=2n•cn=（3n-1）•2^n-2．
（3）∵an=(3n-1)•2n-1，
∴n≥2時，S_n=4a_n-1+2=（3n-4）•2^n-1+2，
∵S₁=a₁=1也適合此公式，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和公式為S_n=（3n-4）•2^n-1+2．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和公式的求法，解題時要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．