Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C₁：

x2

3

+

y2

4

=1，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸極軸，取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，直線l的方程為：ρ（2cosθ-sinθ）=6．
（1）試寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C₁的參數(shù)方程；
（2）在曲線C₁上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到直線l的距離最大，并求出最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ把直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系把曲線C₁的直角坐標(biāo)方程化為參數(shù)方程．
（2）設(shè)點(diǎn)P（

3

cosθ，2sinθ），求得點(diǎn)P到直線l的距離為d=

|4sin( π 3 -θ)-6|

5

，利用正弦函數(shù)的值域求得d的最大值．

解答： 解：（1）直線l的方程為：ρ（2cosθ-sinθ）=6，即 2x-y-6=0．
曲線C₁：

x2

3

+

y2

4

=1的參數(shù)方程為

x= 3 cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）．
（2）設(shè)點(diǎn)P（

3

cosθ，2sinθ），則點(diǎn)P到直線l的距離為d=

|2 3 cosθ-2sinθ-6|

5

=

|4sin( π 3 -θ)-6|

5

，
故當(dāng)sin（

π

3

-θ）=-1時(shí)，d取得最大值為

10

5

=2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，兩角和的正弦公式、正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．